Et si nous faisions un peu de maths par ce magnifique temps ? Mais je vous rassure, je ne vais pas vous faire des maths barbantes avec par exemple un cours sur les formes sesquilinéaires à symétrie alternée ou hermitienne, non, loin de moi cette idée… Manipuler les outils mathématiques, ça peut être marrant et parfois déconcertant, la preuve !

Equation de maths

Je vais tâcher de vous énoncer un fameux problème de probabilités qui est bien souvent incompris par le quidam sans explications propices. Vous connaissez peut-être déjà la réponse si vous avez vu le film Las Vegas 21, mais l’avez-vous compris ? Rien n’est moins sûr…

Nous sommes à un jeu télévisé. Sur le plateau se dressent 3 portes et derrière chacune d’elle, un lot. Deux d’entre elles cachent une chèvre, la troisième cache une voiture. On demande au joueur de sélectionner une porte et de se placer devant. Parmi les deux portes restantes, le présentateur, qui sait ce que cache chacune des portes, va ouvrir une porte derrière laquelle se cache une chèvre. On demande ensuite au joueur s’il désire ou non changer de porte. Dans son intérêt, que doit-il faire ?

Je ne vais pas vous faire mariner plus longtemps, mais essayez de jouer le jeu et de réfléchir par vous même avant de lire la réponse. Nombre de personnes sont tentées de répondre que chacune des portes restantes a la même probabilité de cacher la voiture : le joueur aurait donc, quelque soit son choix, une 50% de chances de gagner. C’est ce que vous pensiez ? Et bien je suis désolé de vous dire que vous vous fourvoyez !

En réalité, si le joueur conserve son choix, il a une probabilité de 1/3 de gagner, contre 2/3 s’il change de porte. Vous êtes sceptiques ? Quelques explications s’imposent…

Tout le paradoxe, plus connu sous le nom du paradoxe de Monty Hall, repose sur le fait que le présentateur sait ce qui ce cache derrière les portes. Lorsqu’il ouvre un des deux portes parmi celles restantes, il le fait donc en connaissance de cause. Ainsi, si au départ les trois choix sont équiprobables donc équivalent à une probabilité de gain d’1/3, la probabilité associée à la porte qui est ouverte par le présentateur, se reporte en quelque sorte sur celle qu’il n’ouvre pas.

En effet, on a une information supplémentaire sur la porte qu’il n’a pas ouvert : s’il ne l’a pas choisie c’est qu’elle a potentiellement plus de chances de cacher la voiture. En revanche on ne sait rien de plus sur la porte devant laquelle était posté le joueur car le présentateur n’avait aucun choix la concernant : elle conserve donc sa probabilité originelle.

Vous restez encore méfiant et voulez du concret ? Très bien, passons à la pratique. Admettons que le joueur sélectionne d’abord la première porte. Trois cas s’offrent à nous :

  • La voiture est derrière la porte 1. Si le joueur change, il perd quelque soit la porte ouverte par le présentateur.
  • La voiture est derrière la porte 2. Le présentateur va donc ouvrir la porte 3. Si le joueur change, il gagne.
  • La voiture est derrière la porte 3. Le présentateur va donc ouvrir la porte 2. Si le joueur change, il gagne.

Soit au final deux chances sur trois de gagner si le joueur effectue un changement.

Et si le joueur ne change pas ?

  • La voiture est derrière la porte 1. Si le joueur ne change pas, il gagne quelque soit la porte ouverte par le présentateur.
  • La voiture est derrière la porte 2. Le présentateur va donc ouvrir la porte 3. Si le joueur ne change pas, il perd.
  • La voiture est derrière la porte 3. Le présentateur va donc ouvrir la porte 2. Si le joueur ne change pas, il perd.

Soit une chance sur trois de gagner. Vous êtes convaincu ?

Par contre, si le présentateur ne savait rien du tout et qu’il ouvrait, sur les deux portes restantes, une au hasard et que par ce même hasard il en choisissait une qui cachait une chèvre, la probabilité que la porte sélectionnée cache la voiture serait la même que la probabilité que la voiture se cache derrière la porte restante.

Déconcertant et limpide à la fois n’est-ce pas ? Et oui, les mathématiques, c’est comme les antibiotiques, c’est pas toujours automatique ! ;-)